Gesamtschule Duisburg-Mitte

Modellierungswoche 2003 Dido und die Rinderhaut (Ulrich Behrens)

Projekt ,,Isoperimetrisches Problem“
Prof. Dr. M. Rumpf
Martin Lenz
Christian Notthoff

Szenario

Dido, eine phönizische Prinzessin, landete auf der Flucht vor ihrem Bruder an der Küste Nordafrikas. Vom dortigen König erbat sie für sich und ihre Getreuen nur so viel Land, wie sie mit einer Kuhhaut umspannen konnte. Der König gewährte ihr die bescheidene Bitte.
Dido aber schnitt das Fell des Tieres in dünne Streifen, mit denen sie ein großes Gebiet umfassen konnte. Dort gründete sie mit ihren Gefolgsleuten die Stadt Karthago, und ihre neue Heimat wurde bald zu einer der bedeutendsten Seehandelsstädte des Mittelmehres.

Uns stellt sich nun die Frage, wie Dido mit der gegebenen Länge des Lederstreifens für ihre Leute das meiste Land erhalten konnte, mit anderen Worten:

Aufgabenstellung

• Formulieren Sie eine Vermutung. Hierzu kann das Betrachten von Beispielen hilfreich sein.
• Leiten Sie Folgerungen aus Ihrer Vermutung her und verifizieren Sie diese. Betrachten Sie z. B. Polygone mit gegebenen Seitenlängen.
• Versuchen Sie einen mathematischen Beweis Ihrer Vermutung zu erarbeiten. Möglicherweise sind hierbei Ideen aus den vorigen Punkten hilfreich.
• Wie könnte ein dreidimensionales Analogon des isoperimetrischen Problems aussehen? Können Sie Ihre Vermutungen experimentell verifizieren? Hierbei können Seifenhäute nützlich sein.
• Betrachten Sie das Steinerproblem, den kürzesten Verbindungsbaum zwischen drei Punkten zu bestimmen. Versuchen Sie eine Näherungslösung auf dem Rechner zu finden.
  

(Die Ergebnisse können Sie hier als PowerPoint-Präsentation sehen. Hier noch eine andere Darstellung des Beweises für den Halbkreis-)