Einführung in die Vektorrechnung

Hein Blöd (Schüler der GE-Du-Mitte) geht über den Schulhof und sieht ein leeres Trinkpäckchen auf dem Boden vor sich. Statt es ordentlich zu entsorgen, tritt er es nur zur Seite. Seine Freundin Clementine betrachtet die Situation und stellt fest: „Hey du hast sie ja nur verschoben! Was passiert eigentlich, wenn man entsprechende Punkte miteinander verbindet?“ (Führen Sie das bitte aus!)

„Wir könnten ja eigentlich auch noch aus der Verbindungslinie einen Pfeil machen, Anfangspunkt bei der Lage vorher, Endpunkt nachher.“

Was stellen Sie über die entstandenen Pfeile fest? (je nach Formulierung und Sprachverständnis zwei bis drei gemeinsame Eigenschaften!)

Die Mathematiker definieren:

Ein Vektor ist die Menge aller Pfeile, die untereinander ......(Übernehmen Sie bitte in Ihr Heft und vervollständigen Sie!)

Vektoren werden immer mit kleinen Buchstaben mit einem Pfeil drüber geschrieben. Dabei zeigt der Pfeil immer von links nach rechts, egal wie es im Bild gerade ist. Beispiele: oder auch als Verbindungspfeil zweier Punkte A und B :

Um einen Vektor zeichnerisch darzustellen, kann man natürlich nicht alle möglichen Pfeile zeichnen, die zu ihm gehören (warum eigentlich nicht). Man beschränkt sich immer auf einen oder ein paar „Repräsentanten“. Hier sind nun einige Vektoren durch jeweils einen Repräsentanten gegeben. Zeichnen Sie bitte zu jedem Vektor drei weitere Repräsentanten:

 

Clementine tritt das Trinkpäckchen genau so, dass es wieder an seine ursprüngliche Lage gelangt. Zeichnen Sie bitte auch hierzu einige Verschiebungspfeile. Was kann man über den „Gegenvektor“ sagen, also über den Vektor, zu dem die Pfeile von Clementines Verschiebung gehören. Was hat der Gegenvektor mit dem ursprünglichen Vektor zu tun?


Zur einfacheren Sprechweise gibt man Vektoren häufig dadurch an, dass man sagt wie der Ursprung eines Koordinatensystems durch einen Pfeil des entsprechenden Vektors verschoben würde. Man schreibt dann z.B.   und meint damit, dass der Ursprung um 3 Einheiten in x-Richtung und 2 Einheiten in y-Richtung verschoben würde.

Zeichnen Sie bitte ein Koordinatensystem und tragen Sie 4 Pfeile ein, die zu diesem Vektor  gehören. Tragen Sie ebenfalls Pfeile ein (jetzt reicht einer, aber nicht immer am Ursprung anfangen!) zu  und

Bestimmen Sie bitte die Zahldarstellung folgender Vektoren (gezeichnet ist jeweils nur ein Repräsentant!) (Bezeichnung links oben mit a beginnend im Uhrzeigersinn):

Die Zahldarstellung (mathematisch: „Komponentendarstellung“) eines Vektors hat auch was mit den Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt eines Repräsentanten zu tun. Bestimmen Sie dazu für jeden Pfeil in obiger Skizze die Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt und vergleichen Sie!

Dazu kann man auch eine Formel aufstellen:

A(a1/a2) sei der Anfangspunkt und B(b1/b2) der Endpunkt eines Repräsentanten. Wie kann man dann den Vektor

 „von A nach B“ berechnen:

x1 = _____________ x2 = ___________ oder auch


Lehrer B. schimpft: „Die frechen Blagen schießen nur immer mit den Tüten umher, statt sie aufzuheben!“:

Zeichnen Sie bitte die Verschiebungspfeile ein, für die erste Verschiebung, für die zweite Verschiebung und schließlich für die „Gesamt­verschiebung“ von Anfang bis Ende (dabei die der linken oberen Ecke als einen Repräsentant besonders dick.)

Übertragen Sie hier noch einmal die drei Pfeile der oberen linken Ecke (ungefähr!). Wie „addiert“ man also zwei Vektoren?


Zeichnen Sie bitte hier den „Summenvektor“!

 


Wie entsteht der Summenvektor aus den beiden einzelnen Vektoren? Beschreiben Sie bitte genau, von wo bis wo der Summenvektor geht! (Beachten Sie auch die Richtung!)

 

 


Was macht man, wenn die Pfeile nicht so schön hintereinander liegen?

Bsp.:

Denken Sie daran, dass zu einem Vektor unendlich viele Pfeile gehören. Zeichnen Sie sich einen passenden! Es gibt sogar zwei Möglichkeiten!

 

 


Hier noch ein Beispiel:



 

Hier soll nochmals addiert werden (auf zwei Arten)


Dass man auf beide Arten das Gleiche herausbekommt, ist für Mathematiker natürlich bemerkenswert. Sie nennen es Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Also kann man formulieren:

________________ = __________________


Und jetzt auch noch drei Vektoren (überlegen Sie sich auch hier unterschiedliche Möglichkeiten)



Und jetzt soll subtrahiert werden:

Suchen Sie einen Vektor , den man zu  addieren kann, um  zu erhalten.

Oder benutzen Sie: