Differentialrechnung
Extrema

Arbeitsblatt 3:       

Hier sollt Ihr ein rechnerisches Verfahren zur Bestimmung der Extremstellen kennenlernen. Zur Herleitung betrachten wir die Graphen verschiedener Funktionen und ihrer Ableitungsfunktionen. 

Aufgabe:    Betrachte die folgenden Funktionen [1 bis 4].

a)     Kennzeichne die jeweiligen Extremstellen und unterscheide nach Maximum und Minimum.

b)    Bilde nun die zugehörige Ableitungsfunktion f’(x) und zeichne ihren Graph in das gegebene Koordinatensystem ein.

1)  f (x) = 1/3 x²    

  
2)   f (x) = - ¼ x² + 1

Welche Zusammenhänge kannst Du erkennen? Versuche diese als Regel zu formulieren.
                                       

       
3)  f (x) =1/3 x³- 4x + 2     

 

4)   f (x) = ¼ x4 –x² + 4

Wenn eine Funktion an der Stelle x eine Extremstelle hat, dann ....

Wir wollen im Folgenden überprüfen, ob diese Regel ausreicht, um Extremstellen zu berechnen.

d)   Prüfe die von Regel am Beispiel der Funktion 5.

5) f (x) = - x³+1

               

d)           Vergleiche  nun die Werte der Ableitungsfunktion in der Umgebung der Stellen, an denen Du eine Extremstelle vermutest. Finde Unterschiede zwischen der Funktion 5 und den ersten 4 Funktionen heraus. Versuche dann eine weitere Regel zu finden, mit der du herausfinden kannst, ob eine Extremstelle vorliegt. Unterscheide hierbei auch nach Maximum und Minimum.

Wenn ....