Analysis

Gebrochen Rationale Funktionenschar

 

Klett, Analysis, S. 218, Nr. 10

=

1.      

2.       Symmetrie: für t= 0 Achsensymmetrie, ansonsten asymmetrisch

3.       Schnittpunkte mit den Achsen: mit der y-Achse existiert keiner, mit der x-Achse nicht elementar lösbar.

4.       Verhalten an der Definitionslücke

für t<0 bzw.  für t>0 und jeweils umgekehrt. d.h. es liegt in jedem Fall eine Polstelle mit VZW vor. Für t= 0 handelt es sich um eine (hebbare) Lücke mit dem Grenzwert

5.       Ableitungen

6.       Extrema

a.       notw. Bed. ft’(x)=0 8x3+t3=0

b.       hinr. Bed. ft’’(x)=

c.       Funktionswert:

7.       Ortskurve der Extrema:

8.       Wendepunkte

a.       notw. Bed.

b.       hinr. Bed.

9.       Ortskurve der Wendepunkte
 (Geradengleichung, d.h. alle Wendepunkte liegen auf einer Geraden)

10.   „tiefste Extrema“

Alle Extrema (Minima) liegen auf der Ortskurve (s.o.). d. h., wir bestimmen das Minimum der Ortskurve g(x) = 12x2-2x und erhalten . Da aber allgemein war, ergibt sich .

Also hat ft mit das tiefste Minimum. Den Funktionswert kann man mit g(x) berechnen und erhält