Differentialrechnung

Steigung an einer Stelle

Arbeitsblatt 3:                               

Die Abbildung zeigt das Profil einer Skiloipe. (x-Einheit: 200m; y-Einheit: 100m)

a) Welche Angaben kann man über die Steigung machen?

b) Wo ist die Steigung am größten, wo ist sie negativ?

c) Wie groß ist die Steigung im Mittelwert über die ganze Piste hinweg?

Wenn man die Steigung an einer Stelle bestimmen will, so haben wir bisher „mit Gefühl“ eine Tangente eingezeichnet und dann zu dieser die Steigung berechnet (bzw. abgelesen). Dabei erhält man unterschiedliche Werte, je nachdem wie man die Tangente eingezeichnet hat.

Das Verfahren soll jetzt verbessert werden. Dazu müssen wir die Loipe „mathematisieren“! Die Loipe entspricht ungefähr dem Graphen der Funktion f(x) = 0,25x³-1,2x²+1,6x (natürlich mit anderen Einheiten).

Wir wollen jetzt die Steigung an der Stelle 3 „berechnen“.

Dazu wählen wir einen zweiten Punkt weiter rechts (hier bei x = 5) und tragen einfach wie bei Geraden ein Steigungsdreieck ein. Wir berechnen statt der Steigung der Funktion also vereinfacht die Steigung einer Sekante (s. Beispiel):

d) Berechnen Sie bitte die Steigung dieser Sekanten (mit dem Steigungsdreieck)!

Die Stelle x = 5 war ziemlich weit rechts. „Besser“ wird es bestimmt mit x = 4,5:

e) Zeichnen Sie bitte ein zweites Steigungsdreieck (mit der Sekanten) durch den Punkt bei x = 4,5 und berechnen Sie wieder die Steigung der Sekanten!

f) Jetzt geht’s weiter mit Hilfspunkten bei x = 4 und bei x = 3,5. Bestimmen Sie also bitte zwei weitere Steigungswerte und tragen Sie schließlich alle Werte in eine Tabelle im Heft ein!

x

5

4,5

...

Steigung

     

g) Welcher Steigungswert ist der beste, d.h. welcher Wert kommt dem Wert der Steigung der Funktion bei 3 am nächsten? Wo muss der Hilfspunkt gewählt werden, damit die Steigung möglichst genau berechnet werden kann? Wählen Sie einen Punkt, mit dem man fast genau den Wert der Steigung der Tangenten und damit der Funktion berechnen kann! (Warum kann man eigentlich als Hilfspunkt nicht noch einmal den Punkt bei x = 3 nehmen?)

h) Suchen Sie noch bessere Hilfspunkte und „erraten“ Sie den Wert der Steigung der Funktion und damit auch der Tangenten bei 3!

i) Man kann auch „gute“ Hilfspunkte links von der Stelle 3 nehmen. Wählen Sie mindestens 2 Hilfspunkte links von 3 und berechnen Sie jeweils mit diesen die Steigung der entsprechenden Sekante! Vergleichen Sie mit Ihrem Wert bei h)!