Differentialrechnung

Funktion und Ableitung

(Hilfsmittel: Excel-Arbeitsmappe „Funktion und Ableitung“)

Extrema:

Aufgabe 1) Stellen Sie bitte die Funktion f(x) = -0,9x³+1,3x²+4x-1 ein. Die Ableitung kann abgeschaltet bleiben.

a)       Wie viele „lokale Scheitelpunkte“ hat die Funktion? Bestimmen Sie – so genau wie möglich – diese Punkte!

b)       Diese lokalen Scheitelpunkte heißen richtig „Extrempunkte“. Dabei unterscheidet man „Hochpunkte“ und „Tiefpunkte“ des Graphen. Man sagt auch, die Funktion hat an der Stelle ... ein „lokales Maximum“ bzw. ein „lokales Minimum“. Das Wort lokal deutet dabei darauf hin, dass es möglicherweise an anderen Stellen noch größere bzw. kleinere Funktionswerte gibt. Nur in der Nähe der lokalen Maxima bzw. Minima sind die Funktionswerte kleiner bzw. größer. Wo liegt also bei dieser Funktion ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum?

Aufgabe 2) Bestimmen Sie bitte (durch Eingabe der Koeffizienten) die Hoch- und Tiefpunkte (bzw. die lokalen Maxima bzw. Minima) für die Funktionen:

a)       f(x) = -2x³ - 3,4x² + 1,7x + 3,6

b)       f(x) = -0,7x³ - 2,9x² - 0,5x + 1,6

c)       f(x) = 0,7x³ + 1,7x² - 2,1x - 0,1

d)       f(x) = 1,1x³ + 2,2x²  + 2,2x + 2,2

e)       f(x) = -1,8x³ + 0,9x²  - 1,0x + 5

f)         f(x) = -1,8x³ + 2,9x²  - 1,6x + 3

Aufgabe  3) Fassen Sie bitte Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 2 zusammen:

Wie viele lokale Extrema (Maxima oder Minima) hat eine Funktion dritten Grades mindestens, höchstens, ...?

Es soll nun ein Zusammenhang zwischen der Lage von Extrema und den Ableitungen untersucht werden.

Aufgabe 4) Schalten Sie bitte durch Drücken auf den Knopf „zeigen“ die Ableitung ein. Beantworten Sie durch Ausprobieren mit den verschiedenen Koeffizienten folgende Fragen:

a)       Welche Eigenschaft hat die Ableitung an der Stelle, an der die Funktion ein lokales Extremum hat?

b)       Übernehmen Sie bitte in Ihr Heft und vervollständigen Sie: „Wenn eine Funktion an einer Stelle ein Extremum hat, dann ....“

c)       Stellen Sie bitte die Funktion f(x) = 0,4x³ + 0,4x² + 0,1x + 3 ein und überprüfen Sie Ihren Satz aus Aufgabe b). Gilt Ihre Aussage auch umgekehrt?

Schalten Sie bitte auch die 2. Ableitung ein! Stellen Sie die verschiedensten Funktionen ein und beantworten Sie folgende Fragen: („Spielen“ Sie insbesondere mit den Schiebern und beobachten das „Wandern“ der Graphen der Funktion, der Ableitungsfunktion und der zweiten Ableitung!)

d)       Ermitteln Sie bitte, welche Eigenschaft die zweite Ableitung an den lokalen Minima bzw. Maxima hat! Was geschieht im Falle der Funktion aus 4c)?

e)       Übernehmen Sie bitte in Ihr Heft und vervollständigen Sie: „Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle .... und die zweite Ableitung an der Stelle ...  , so hat f dort ein Maximum bzw. ein Minimum.“ (Wie kann man dann Maxima und Minima unterscheiden?)